Fiche de révision : Les suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques

• Une suite $(u_n)$ est arithmétique si et seulement si il existe un réel $r$ tel que, pour tout $n\in\mathbb N$ : $u_{n+1}=u_n+r$.
• Pour passer d’un terme au suivant, on ajoute toujours le même nombre $r$, appelé raison de la suite $(u_n)$.
• Soit $(u_n)$ une suite de premier terme $u_0$ et de raison $r$. Pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=u_0+nr$.
• Plus généralement (parce qu’on ne connaît pas toujours le premier terme), pour tout $n\in\mathbb N$ et pour tout $p\in\mathbb N$, on a : $u_n=u_p+(n-p)r$.
• Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$, alors :
• si $r>0$, $(u_n)$ est croissante ;
• si $r<0$, $(u_n)$ est décroissante ;
• si $r=0$, $(u_n)$ est constante.
• Une suite arithmétique de raison $r$ est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite de coefficient directeur $r$ (représentation graphique d’une fonction affine). On dit alors que la croissance, ou la décroissance, des termes d’une suite arithmétique est linéaire.
• Soit $(u_n)$ une suite arithmétique et $S$ la somme des termes consécutifs :
• $S=(\text{nombre de termes})\times\dfrac{(\text{premier terme + dernier terme})}{2}$
• Soit un entier naturel $n$ non nul :
• la somme des $n$ premiers entiers non nuls est : $1+2+3+…+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Suites géométriques

• Une suite $(u_n)$ est géométrique si et seulement si il existe un réel $q$ tel que, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}=u_n\times q$.
• Pour passer d’un terme au suivant, on multiplie toujours par le nombre $q$, appelé raison de la suite $(u_n)$.
• Soit $(u_n)$ une suite de premier terme $u_0$ et de raison $q$. Pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=u_0×q^n$.
• Plus généralement (parce qu’on ne connaît pas toujours le premier terme), pour tout $n\in\mathbb N$ et pour tout $p\in\mathbb N$, on a : $u_n=u_p×q^{n-p}$.
• Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme non nul et de raison $q$.
• Si $q>1$ :
• si $u_0>0$, la suite $(u_n)$ est croissante ;
• si $u_0<0$, la suite $(u_n)$ est décroissante.
• Si $q=1$ : la suite $(u_n)$ est constante.
• Si $0<q<1$ :
• si $u_0>0$, $(u_n)$ est décroissante ;
• si $u_0<0$, $(u_n)$ est croissante.
• Si $q=0$ : $(u_n)$ est constante et vaut $0$ à partir du deuxième terme.
• Si $q<0$ : $(u_n)$ n’a pas de variations régulières ; on dit qu’elle n’est pas monotone.
• Une suite géométrique croissante ou décroissante est représentée graphiquement par des points appartenant à une fonction de type exponentiel. Dans ces cas, on dit que la croissance (ou la décroissance) des termes d’une suite géométrique est exponentielle.
• Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q\neq1$ et $S$ la somme des termes consécutifs :
• $S=(\text{premier terme})\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$
• Soit un entier naturel $n$ non nul et $q$ un réel différent de $1$ :
• $1+q+q^2+q^3+…+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
• Soit $q$ un réel différent de $1$, alors :
• si $q>1$, $(q^n)$ diverge vers $+\infty$ ;
• si $-1<q<1$, $(q^n)$ converge vers $0$ ;
• si $q\leq-1$, $(q^n)$ diverge et n’admet pas de limite.
• Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q\neq1$ et telle que $u_0\neq0$.
• Si $q>1$ :
• si $u_0>0$, $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ ;
• si $u_0<0$, $(u_n)$ a pour limite $-\infty$.
• Si $-1<q<1$ : $(u_n)$ converge vers $0$.
• Si $q\leq-1$ : $(u_n)$ diverge et n’admet pas de limite.