Géométrie plane : triangles et projeté orthogonal... Fiche 2nde

Géométrie plane : triangles et projeté orthogonal d'un point sur une droite

Les triangles

Dans un triangle, une hauteur est la droite passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé.
Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point, que nous notons $H$, appelé orthocentre du triangle.
La médiatrice d’un segment est la droite qui lui est perpendiculaire et qui passe par son milieu.
Un triangle a trois médiatrices, celles de ses trois côtés, qui se coupe en un point, centre du cercle circonscrit au triangle.
Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse.
Théorème de Pythagore et réciproque :
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Réciproquement, si, dans un triangle, le carré de la longueur d’un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres, alors le triangle est rectangle.

Trigonométrie dans un triangle rectangle
$Mathématique seconde géométrie plane trigonométrie triangle rectangle$
Cosinus	$$\cos{(\alpha)}=\dfrac{\text{longueur du côté adjacent}}{\text{longueur de l’hypoténuse}}=\dfrac{AB}{AC}$$
Sinus	$$\sin{(\alpha)} =\dfrac{\text{longueur du côté opposé}}{\text{longueur de l’hypoténuse}}=\dfrac{BC}{AC}$$
Tangente	$$\begin{aligned} \tan{(\alpha)} &=\dfrac{\text{longueur du côté opposé}}{\text{longueur du côté adjacent}}=\dfrac{BC}{AB} \\ &=\dfrac {\sin{(\alpha)}}{\cos{(\alpha)}} \end{aligned}$$
Pour tout angle aigu $\alpha$ d’un triangle rectangle : $$\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1$$

$Mathématiques seconde géométrie plane projeté orthogonal$

Soit $M$ un point du plan, $(d)$ une droite et $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(d)$.
$H$ est alors le point d’intersection de $(d)$ et de la droite qui lui est perpendiculaire et qui passe par le point $M$.
Si $M$ appartient à $(d)$, alors $M$ et $H$ sont confondus.
$H$ est le point de $(d)$ le plus proche de $M$.
$MH$ est appelé distance du point $M$ à la droite $(d)$.

Nous considérons le triangle quelconque $ABC$ suivant :

$Mathématiques seconde géométrie plane théorème d’Al-Kashi loi des cosinus$

Théorème d’Al-Kashi	$$\begin{aligned} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos{(\alpha)} \\ b^2&=a^2+c^2-2ac\cos{(\beta)} \\ c^2&=a^2+b^2-2ab\cos{(\gamma)} \\ \end{aligned}$$
Aire $\mathcal A$ du triangle	$$\begin{aligned} \mathcal A&=\dfrac 12bc\sin{(\alpha)} \\ &=\dfrac 12ac\sin{(\beta)} \\ &=\dfrac 12ab\sin{(\gamma)} \end{aligned}$$