Fiche de révision : La musique ou l'art de faire entendre les nombres

La gamme de Pythagore

• En musique, pour « comparer » les notes, on évalue l’intervalle qui les sépare.
• Deux sons dont le rapport de leurs fréquences fondamentales est $\dfrac{2}{1}$ ($=2$) correspondent à une même note. L’intervalle les séparant est appelé une octave.
• L’octave permet ainsi de définir les gammes, c’est-à-dire le nombre de notes comprises dans une octave. Pour construire une gamme, dans l’Antiquité, on se basait sur la consonance des sons.
• Pour construire la gamme de Pythagore, les pythagoriciens se sont basés sur la consonance des sons dans des rapports de $\dfrac{2}{1}$ (octave) et $\dfrac{3}{2}$ (quinte).
• La méthode de composition de la gamme de Pythagore est la suivante :
• on choisit une note de référence, $do = 1$ par exemple ;
• on applique le rapport choisi ($\dfrac{3}{2}$) pour trouver la note consonante : $\text{note}\,2 =\dfrac{3}{2}$ ;
• on reproduit cette même technique pour trouver les notes suivantes. Ces notes doivent se trouver dans une même octave : si ce n’est pas le cas (résultat > $\dfrac{2}{1}$), on divise le résultat par $2$ ;
• il suffit ensuite de classer les rapports de façon croissante pour obtenir les notes de la gamme dans l’ordre.
• La gamme la plus courante est la gamme diatonique : elle contient 7 notes ($do$, $ré$, $mi$, $fa$, $sol$, $la$, $si$).
• La gamme chromatique contenant 12 notes (dont 5 notes altérées à l’aide du dièse et du bémol) permet de faciliter la transposition des mélodies.
• Cependant, dans la gamme chromatique, la différence entre deux rapports successifs n’a pas une valeur constante, ce qui pose des problèmes lors des transpositions. De plus, la fréquence du $si\sharp$ n’est pas égale à celle du $do$, alors qu’elle devrait l’être.
• La légère différence entre ces deux notes, appelée le comma pythagoricien, est à l’origine de l’élaboration d’une nouvelle gamme dite « tempérée ».

La gamme tempérée

• À la fin du XVII^e siècle, une gamme comportant 12 intervalles égaux est élaborée par le mathématicien Andreas Werckmeister.
• L’idée de cette gamme est de répartir le comma pythagoricien pour obtenir des rapports entre les notes parfaitement égaux.

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• En termes de fréquence, une octave correspond à une multiplication par $2$. Ce qui peut s’écrire : $$\dfrac{f\,do_2}{f\,do_1}=2=a^{12}$$ On obtient alors :

• Dans la gamme tempérée, l’intervalle séparant deux notes successives, appelé demi-ton, est toujours le même et vaut $2^{\frac{1}{12}}$.
• La connaissance des nombres irrationnels en mathématiques a permis une évolution dans le domaine musical.
• Avantages de la gamme tempérée :
• les intervalles entre toutes les notes étant égaux, on peut aisément transposer une mélodie ;
• les notes sont les mêmes (en termes de fréquence) quel que soit l’instrument utilisé, permettant un essor de la musique d’orchestre.
• Inconvénient de la gamme tempérée :
• les intervalles basés sur des considérations mathématiques font perdre de la justesse aux notes.