Cours : La fonction racine carrée

Courbe représentative de la fonction racine carrée

Définition

Fonction racine carrée :

La fonction racine carrée est la fonction qui à tout réel positif $x$ associe le nombre réel positif noté $\sqrt x$ dont le carré est $x$. On peut noter cette fonction $f(x)=\sqrt x$ avec $x\geq0$.

Afin de tracer la courbe représentative de la fonction racine carrée sur un intervalle, il faut établir un tableau de valeur. C’est à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique que nous allons établir ce tableau de valeur entre $0$ et $16$ et tracer la fonction racine carrée.

• Ci-dessous la courbe représentative de la fonction racine carrée :

Propriétés de la fonction racine carrée

• On a $\sqrt 0=0$ et pour tout $x>0$ on a $\sqrt x>0$ ;
• La racine carrée d’un nombre positif $x$ est le nombre positif, noté $\sqrt x$, tel que $\sqrt x^2=x$ ;
• La fonction racine carrée est strictement croissante. On peut ainsi établir le tableau de variation de $f(x)=\sqrt x$ sur $[0\,;\,+\infty[$ :

• Pour tous $a$ et $b$ réels positifs tels que $a < b$, alors $f(a) < f(b)$. La réciproque est aussi vraie.
• Ci-dessous une représentation graphique de cette propriété :

Rappel :

• Le tableau de valeurs d'une fonction $f$ regroupe les images d'un certain nombre d’abscisses.
• Dans le tableau de variation d’une fonction $f$, on indique, par des flèches « vers le haut » ou « vers le bas » si la fonction est croissante ou décroissante. On y indique aussi les limites aux bornes de l'ensemble de définition et les valeurs où la fonction change de sens.

Exemple

• Sachant que $2<6$, alors $f(2)<f(6)$ donc $\sqrt 2<\sqrt 6$ ;
• Sachant que $f(a)<f(6)$, alors $a<6$.

Attention : la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas !

Équation du type $\sqrt x=k$ où $k$ est un réel

• Résolution graphique

La résolution graphique de l’équation $\sqrt x=k$ revient à trouver les abscisses des points d’intersection de la courbe représentative de la fonction racine carrée avec la droite horizontale d’équation $y=k$.

Pour résoudre graphiquement les équations $\sqrt x=2$ et $\sqrt x=-1$, on suit les étapes suivantes :

• on trace la courbe représentative de la fonction racine carrée ;
• on trace les droites d’équation $y=2$ et $y=-1$ ;
• on note les abscisses des points d’intersection.

L’unique point d’intersection de la droite d’équation $y=2$ et la courbe est le point $A$ d’abscisse $4$. Ainsi, l’équation $\sqrt x=2$ admet une unique solution égale à $4$.
La droite d’équation $y=-1$ n’a pas de point d’intersection avec la courbe de la fonction, l’équation $\sqrt x=-1$ n’admet donc pas de solution.

• Résolution algébrique

Afin de résoudre algébriquement l’équation $\sqrt x=k$ , il faut distinguer trois cas différents :

• Cas où $k<0$ :
  L’équation $\sqrt x=k$ où $k<0$ n’admet pas de solution car $\sqrt x\ge 0$.

• Cas où $k=0$ :
  L’équation $\sqrt x=0$ admet une solution qui est égale à $0$ car $\sqrt 0=0$.

• Cas où $k>0$ :
  L’équation $\sqrt x=k$ admet une solution unique $x=k^2$.

Exemple

• L’équation $\sqrt x=7$ admet comme unique solution $x=7^2=49$ ;
• L’équation $\sqrt x=\dfrac{2}{3}$ admet comme unique solution $x=\Big(\dfrac{2}{3}\Big)^2=\dfrac{4}{9}$ ;
• L’équation $\sqrt x=-3$ n’admet pas de solution car $-3<0$.

Inéquation du type $\sqrt x<k$ où $k$ est un réel

• Résolution graphique

La résolution graphique de l’inéquation $\sqrt x<k$ revient à :

• trouver le point d’intersection de la courbe représentative de la fonction racine carrée avec la droite horizontale d’équation $y=k$ ;
• trouver l’abscisse de ce point d’intersection ;
• donner l’intervalle comprenant tous les réels strictement inférieurs à l’abscisse du point d’intersection et supérieurs à $0$.

On admettra que cet intervalle est unique.

On cherche à résoudre graphiquement les inéquations $\sqrt x<3$ et $\sqrt x<-1$ :

• on trace la courbe représentative de la fonction racine carrée ;
• on trace les droites d’équation $y=3$ et $y= -1$ ;
• on note les abscisses des points d’intersection de chaque droite avec la fonction racine carrée.

L’unique point d’intersection de la droite d’équation $y=3$ avec la courbe est $A$ d’abscisse $9$. Ainsi, l’inéquation $\sqrt x<3$ admet comme ensemble de solution l'intervalle $[0\,;\,9[$. $9$ est exclu de l’ensemble des solutions car l’inégalité est stricte.
La droite d’équation $y=-1$ n’admet aucun point d’intersection avec la courbe, l’inéquation $\sqrt x<-1$ n’admet donc pas de solution.

• Résolution algébrique

Si $k$ est un réel strictement positif :

• l’ensemble solution dans $\mathbb R$ de l’inéquation $\sqrt x < k$ est $[0\ ;\, k^2[$ ;
• l’ensemble solution dans $\mathbb R$ de l’inéquation $\sqrt x \leq k$ est $[0\ ;\, k^2]$.

Si $k=0$ :

• l’inéquation $\sqrt x < k$ n’admet pas de solutions dans $\mathbb R$ ;
• l’inéquation $\sqrt x \leq k$ admet une unique solution dans $\mathbb R$ : $0$.

Si $k$ est un réel strictement négatif, les inéquations $\sqrt x < k$ et $\sqrt x \leq k$ n’admettent aucune solution dans $\mathbb R$.

Exemple

L’inéquation $\sqrt x<1,5$ admet comme ensemble de solutions l’intervalle $[0\,;\,2,25[$.