Cours : La fonction cube

La fonction cube : définition et courbe représentative

Définition

Fonction cube :

La fonction cube est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ ou encore $]-\infty\,;\,+\infty[$ par $f(x)=x^3$.

Représentation graphique

Afin de tracer la courbe représentative de la fonction cube sur un intervalle, il faut établir un tableau de valeurs. À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, nous allons établir un tableau de valeurs entre $-2$ et $2$ et tracer la fonction cube.

• Ci-dessous la courbe représentative de la fonction cube :

Propriété

• Pour tout $x<0$, $f(x)=x^3<0$ ;
• Pout tout $x>0$, $f(x)=x^3>0$ ;

La fonction cube est strictement croissante. On peut ainsi établir le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ :

Propriété

• La fonction cube n’admet pas d’extremum sur $\mathbb{R}$, c’est-à-dire qu’elle n’admet pas de valeur maximale ou minimale.
• La fonction cube est une fonction impaire, ainsi pour tout $x$ réel on a : $f(-x)=-f(x)$.
• Pour tous $a$ et $b$ réels tels que $a<b$, alors $f(a)<f(b)$.
• La réciproque est aussi vraie, c’est-à-dire : si $f(a)<f(b)$ alors $a<b$. Cette réciprocité n’est vraie que dans le cas d’une fonction croissante.
• Ci-dessous une représentation graphique de cette propriété :

Exemple

• Sachant que $2<6$ alors $f(2)<f(6)$ donc $2^3<6^3$.
• Sachant que $-3<2$ alors $f(-3)<f(2)$ donc $(-3)^3<2^3$.
• Sachant que $-2,5<-1$ alors $f(-2,5)<f(-1)$ donc $(-2,5)^3<(-1)^3$.
• Sachant que $f(2,5)<f(4,2)$ alors $2,5^3<4,2^3$ donc $2,5<4,2$.

Équation du type $x^3=k$ où $k$ est un réel

• Résolution graphique

Pour résoudre graphiquement l’équation $x^3=k$, on suit les étapes suivantes :

• on trace la courbe de la fonction cube ;
• on trace la droite horizontale d’équation $y=k$ ;
• on repère les points d’intersection de cette droite avec la courbe de la fonction cube ;
• on note les coordonnées des points d’intersections entre les deux courbes, c’est-à-dire le couple $(\text{abscisse}\,;\,\text{ordonnée})$ pour chaque point d’intersection ;
• l’abscisse du point d’intersection correspond à la solution que l’on recherche.

On admet qu’il existe une solution unique à l’équation $x^3=k$.

Exemple

Pour résoudre l’équation $x^3=-1$, on suit les étapes suivantes :

• on trace la courbe représentative de la fonction cube ;
• on trace la droite horizontale d’équation $y = -1$ ;
• on note les coordonnées du point d’intersection $A(-1\,;\,-1)$.

L’unique point d’intersection est le point $A$ d’abscisse $-1$. Ainsi l’équation $x^3=-1$ admet une unique solution égale à $-1$.

• Résolution algébrique

Définition

Racine cubique :

La racine cubique d’un nombre réel $y$ est l’unique nombre $x$ qui, élevé à la puissance $3$, c’est-à-dire multiplié trois fois par lui-même, vaut $y$. Ainsi, $y = x^3$. La racine cubique de $y$ est notée $\sqrt[3] {y}$.

Exemple

• La racine cubique de $8$ est $2$, car $2\times2\times2=8$. On écrit $\sqrt[3] {8}=2$.
• La racine cubique de $-27$ est $-3$, car $(-3)\times(-3)\times(-3)=-27$. On écrit $\sqrt[3] {-27}=-3$.

Pour tout nombre réel $k$, l’équation $x^3=k$ admet une unique solution que l’on appelle racine cubique de $k$.

Exemple

• L’équation $x^3=125$ admet une unique solution $\sqrt[3] {125}=5$ ;
• L’équation $x^3=-8$ admet une unique solution $\sqrt[3] {-8}=-2$.

Inéquation du type $x^3<k$ où $k$ est un réel

• Résolution graphique

Pour résoudre graphiquement l’inéquation $x^3<k$, on suit les étapes suivantes :

• on trace la courbe de la fonction cube ;
• on trace la droite horizontale d’équation $y=k$ ;
• on note l’abscisse du point d’intersection ;
• on note l’intervalle de tous les réels inférieurs à cette abscisse.

La solution est l’intervalle trouvé. On admettra que l’intervalle solution est unique.

Exemple

On cherche à résoudre graphiquement $x^3<8$. On suit la démarche ci-dessus :

• on trace la courbe de la fonction cube ;
• on trace la droite horizontale d’équation $y=8$ ;
• on note le point d’intersection $A(2\,;\,8)$ : son abscisse est $2$ ;
• l’intervalle solution est $]-\infty\,;\,2[$.

L’unique point d’intersection est le point $A$ d’abscisse $2$. Ainsi, l’équation $x^3 <8$ admet comme ensemble de solutions l’unique intervalle $]-\infty\,;\,2[$. L’intervalle est ouvert du côté de $2$ car il s’agit d’une inégalité stricte.

• Résolution algébrique

Pour tout nombre réel $k$, l’inéquation $x^3<k$ admet comme ensemble de solutions l’unique intervalle $]-\infty\,;\,\sqrt[3] {k}[$.

Exemple

L’inéquation $x^3<3,375$ admet comme ensemble de solutions l’intervalle $]-\infty\,;\,\sqrt[3] {3,375}[\ =\ ]-\infty\,;\,1,5[$.

Position relative des fonctions de référence

Étudier la position relative de plusieurs fonctions sur un intervalle consiste à préciser laquelle est au-dessus ou au-dessous de l’autre et en quels points elles se croisent.
Soient $\mathscr C_f$, $\mathscr C_g$ et $\mathscr C_h$ les courbes représentatives des trois fonctions $f\,: \,x\,\rightarrow x^3$, $g\,: \,x\,\rightarrow x^2$ et $h\,: \,x\,\rightarrow x$ sur l’intervalle $[0\,;\,+\infty[$.
Dans cette partie, nous allons étudier la position relative des courbes d’équation $y=x$, $y=x^2$ et $y=x^3$, pour $x\ge 0$.

À retenir

Pour $x\ge0$ :

• si $x=0$ alors $x=x^2=x^3$ ;
• si $0< x<1$ alors $x>x^2>x^3$ ;
• si $x=1$ alors $x=x^2=x^3$ ;
• si $1<x$ alors $x<x^2<x^3$.

Voici une représentation graphique illustrant la position relative des courbes en fonction de $x$ :

Démonstration

• Pour $x=0$ :
• $0=0^2=0^3$
• Pour $x\in]0\,;\,1[$ :
• $x^3-x^2=x^2(x-1)$, or $x^2>0$ et comme $x<1$ alors $x-1<0$, d’où par multiplication de termes de signes contraires, $x^3-x^2<0$ et ainsi $x^3<x^2$.
• $x^2-x=x(x-1)$, or $x>0$ et comme $x<1$ alors $x-1<0$, d’où par multiplication de termes de signes contraires, $x^2-x<0$ et ainsi $x^2<x$.
• Pour $x=1$ :
• $1=1^2=1^3$
• Pour $x>1$ :
• $x^3-x^2=x^2(x-1)$, or $x^2>0$ et comme $x>1$ alors $x-1>0$ d’où par multiplication de termes de même signes, $x^3-x^2>0$ et ainsi $x^3>x^2$.
• $x^2-x=x(x-1)$, or $x>0$ et comme $x>1$ alors $x-1>0$ d’où par multiplication de termes de même signes, $x^2-x>0$ et ainsi $x^2>x$.