Cours : La division euclidienne

Ainsi diviser un gâteau en quatre, signifie le partager en quatre parts égales.

Si on est $5$ et que l’on a un seul paquet de bonbons on va chercher à partager les bonbons en quantités égales. On va donc diviser le nombre de bonbons par $5$.
S’il y a $15$ bonbons, on fait $15 \div 5 = 3$
On en distribue $1$ à chacun successivement jusqu’à ce qu’il n’en reste plus. On compte ensuite le nombre de bonbons que l’on a chacun. On en aura $3$ chacun.

• Si on prend $6$ crayons que l’on veut diviser en $3$, on fait $6 \div 3 = 2$
• Si on en prend $7$ et qu’on veut les diviser en $2$, on fait $7 \div 2 = 3,5$ or on ne peut pas séparer un crayon en deux, on dira donc $7 = 2 \times 3 + 1$
• On aura $3$ crayons chacun et il en restera $1$.

Comme précédemment, on en distribue un chacun successivement jusqu’à ce qu’il n’y en ai plus. On se rend alors compte qu’on n’en a pas le même nombre : il y en a un qui en a $4$ et l’autre $3$. Pour en avoir le même nombre, comme on ne peut pas séparer le crayon en $2$, on en donnera $3$ à chacun et on dira qu’il en reste $1$.

Combien de fois a-t-on $\green{2}$ dans le nombre $\blue{19}$ ?

On a $\purple{9}$ fois le nombre $\green{2}$ dans $\blue{19}$ car $\purple{9} \times \green{2} = 18$
Or $10 \times \green{2} = 20$ qui est plus grand que $\blue{19}$. Par conséquent, ce résultat ne permet pas de résoudre l’équation.

On place donc le $\purple{9}$ sous le $\green{2}$.
On effectue ensuite l’opération $\purple{9}\times \green{2}$ et on note le résultat sous le $\blue{19}$.
$\purple{9}\times \green{2}= 18$, on inscrit donc un $18$ sous le $\blue{19}$.

On effectue ensuite la soustraction $\blue{19} - 18 = \orange{1}$ et on écrit le résultat dans la même colonne.

Ici, le reste est $\orange{1}$.

On ne peut pas continuer l’opération puisqu’il est impossible de vérifier combien de fois on peut mettre $\green{2}$ dans $\orange{1}$.

On a donc $\blue{19} \div \green{2} = \purple{9}$ et il reste $\orange{1}$.
Soit $\blue{19} = \green{2} \times \purple{9} + \orange{1}$

• On commence par prendre uniquement le premier chiffre du dividende : $\blue{5}$.

Combien de fois peut-on avoir $\green{3}$ dans le nombre $\blue{5}$ ?
$\purple{1}$ fois seulement puisque $2 \times \green{3} = 6$ ce qui est plus grand que $\blue{5}$.

On cherche ici les dizaines du quotient. En effet $\green{3} \times \purple{1}\text{ dizaine}$ correspond à $\green{3}\text{ dizaines}$ que l’on va soustraire à $\blue{5}\text{ dizaines}$.

On place donc le $\purple{1}$ sous le $\green{3}$.
On effectue ensuite l’opération $\purple{1} \times \green{3}$ et on note le résultat sous le $\blue{5}$.
$\purple{1} \times \green{3} = 3$, on inscrit le $3$ sous le $\blue{5}$.

On effectue ensuite la soustraction $\blue{5} - 3 = \red{2}$ et on écrit le résultat dans la même colonne.

• On abaisse ensuite le $\blue{8}$. On obtient ainsi le chiffre $\red{28}$.

On cherche maintenant à savoir combien de fois on a $\green{3}$ dans $\red{28}$.
On trouve $\purple{9}$ puisque $\purple{9} \times \green{3} = 27$ et $10 \times \green{3} = 30$ ce qui est plus grand que $\red{28}$. Ce résultat ne permet donc pas de résoudre l’équation.

On place par conséquent le $\purple{9}$ à côté du $\purple{1}$ sous le $\green{3}$.
On effectue ensuite l’opération $\purple{9} \times \green{3}$ et on note le résultat sous le $\red{28}$.
$\purple{9} \times \green{3}=27$, on inscrit donc $27$ sous le $\red{28}$.
On effectue ensuite la soustraction $\red{28} - 27 = \orange{1}$ et on écrit le résultat dans la même colonne.

Ici, nous avons cherché les unités du quotient.

On vérifie dans $\orange{1}$ combien de fois on peut mettre $\green{3}$ : on ne peut pas.

On a donc $\blue{58} \div \green{3} = \purple{19}$ et il reste $\orange{1}$.
Soit $\blue{58} = \green{3} \times \purple{19} + \orange{1}$