Cours : L'énergie mécanique : énergies cinétique et potentielle

Travail d’une force et théorème de l’énergie cinétique

Nous allons ici définir une notion très importante, le travail d’une force, et introduire le théorème de l’énergie cinétique, très important pour l’étude du mouvement d’un corps.

Travail d’une force

Une force est une cause extérieure capable de :

• modifier l’état de repos d’un corps (mettre en mouvement un corps préalablement au repos) ;
• modifier l’état de mouvement d’un corps (modifier donc soit la trajectoire, soit la vitesse d’un corps, soit les deux à la fois) ;
• déformer un corps (effet statique).

Attention

• On étudiera ici des forces constantes, c’est-à-dire des forces dont la direction, le sens et le module ne varient pas au cours du temps.

Les notions abordées seront également applicables dans le cas des forces variables, mais nécessiteront, pour être appliquées, d’utiliser le calcul intégral, notion qui sera abordée en terminale.

Définition

Travail d’une force :

Le travail d’une force $\vec F$ sur un objet le long d’un segment $[AB]$ mesure l’énergie fournie (ou dissipée) par cette force à l’objet et quantifie la variation d’énergie cinétique de ce corps (et donc de sa vitesse).

À retenir

Ce travail, noté $W_{AB}(\vec F)$, s’exprime à l’aide du produit scalaire :

$$\begin{aligned} W_{AB}(\vec F)&=\vec F \cdot \overrightarrow{AB} \\ &=F\times AB \times \cos \alpha \end{aligned}$$

Avec $\alpha=(\vec F,\ \overrightarrow{AB})$.

• Cette grandeur est analogue à une énergie et s’exprime en joule.

Le signe du travail $ W_{AB}(\vec F)$ dépend de la valeur de l’angle $\alpha$. En fonction de cet angle, le travail sera donc qualifié de différentes manières : moteur, nul ou résistant.

• Si $0\degree\leq\alpha<90\degree$, alors : $\cos \alpha>0$, et donc : $ W_{AB}(\vec F)>0$.

Le travail est alors dit moteur : la force contribue à amplifier le mouvement de l’objet et à augmenter sa vitesse.

Exemple

Prenons le cas d’un objet tombant en chute libre.

Si on néglige la force de frottements, cet objet n’est soumis qu’à la force de pesanteur dirigée du haut vers le bas. Cet objet, en chute libre, se déplace justement du haut vers le bas. La force de pesanteur étant dirigée dans le même sens que le mouvement, l’objet va tomber de plus en plus vite, son énergie cinétique, et donc sa vitesse, augmentant sous l’influence de la force de pesanteur.

• Le travail de la force de pesanteur est ici moteur.

• Si $\alpha=90\degree$, alors : $\cos \alpha=0$, et donc : $W_{AB}(\vec F)=0$.

Le travail est alors dit nul : la force n’a aucune influence sur la vitesse de l’objet.

Exemple

Prenons le cas d’un pendule.

La masse est soumise à la force de pesanteur et à la tension du fil. La tension du fil étant dirigée le long du fil, depuis la masse jusqu’au point de pivot, cette force est toujours perpendiculaire au mouvement.

• Le travail de la tension du fil est ici nul : il ne contribue en aucune manière ni à accélérer la masse ni à la ralentir.

• Si $90\degree<\alpha\leq 180\degree$, alors : $\cos \alpha<0$, et donc : $ W_{AB}(\vec F)<0$.

Le travail est alors qualifié de résistant : la force contribue à s’opposer au mouvement de l’objet et à diminuer sa vitesse.

Exemple

Prenons le cas d’une fusée décollant depuis la surface de la Terre.

Si on néglige la force de frottements, cet objet n’est soumis qu’à la force de pesanteur dirigée du haut vers le bas. Cette fusée se déplace du bas vers le haut et, pour ce faire, doit combattre la force de pesanteur dirigée dans l’autre sens. Si la fusée arrête ses moteurs, elle continuera sur sa lancée, mais sa vitesse décroîtra au fur et à mesure du temps, à cause de l’influence de la pesanteur.

• Le travail de la force de pesanteur est ici résistant car s’opposant au mouvement de la fusée.

Théorème de l’énergie cinétique

Une application importante du travail d’une force est la variation d’énergie cinétique.

Rappel

Rappelons ici que l’énergie cinétique d’un objet de masse $m$ se déplaçant à la vitesse $v$ est une énergie liée au mouvement de cet objet et s’exprime ainsi :

$$E_\text{cinétique}=\dfrac{1}{2}mv^2$$

Avec :

• la vitesse en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ ;
• la masse en $\text{kg}$.

Théorème

Théorème de l’énergie cinétique :

Soit un corps de masse $m$ constante, parcourant un segment $[AB]$ et soumis à une ou plusieurs forces, la variation d’énergie cinétique $\Delta E_{\text{c}AB}$ est déterminée par le travail des forces $\vec F$ s’appliquant sur cette masse :

$$\Delta E_{\text{c}AB}=\sum W_{AB}(\vec F)$$

Ce résultat très important ne peut être démontré avec les outils mathématiques d’un étudiant de première, car il fait appel à la notion d’intégrale qui sera au programme de terminale.

Exemple

Imaginons un vaisseau spatial voyageant dans le vide, donc ne subissant aucun frottement.

• Ce vaisseau, de masse $m=100\ \text{t}$ et voyageant à $v_1=5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, décide à un temps $t_0$ de rallumer ses moteurs sur $d=500\ \text{m}$.
• Ses moteurs fournissent en tout une poussée constante de $7\,500\ \text{N}$. La poussée des moteurs est fournie dans le même sens que le mouvement.
• Commençons par calculer l’énergie cinétique $E_{\text{c}1}$ avant la poussée des moteurs :

$$\begin{aligned} E_{\text{c}1}&=\dfrac{1}{2}mv^2 \\ &=\dfrac{1}{2}\times 10^5\times 5^2 \\ &=1,25\times 10^6\text{J} \end{aligned}$$

• Calculons maintenant le travail de la force de poussée $\vec F$, qui a même sens et même direction que le mouvement :

$$\begin{aligned} W_d(\vec F)&=F\times d\times \cos \alpha \\ &=7\,500\times500\times1\ (\text{car }\alpha=0\degree)\\ &=3,75\times10^6\ \text{J} \end{aligned}$$

• Et donc, avec $ E_{\text{c}2}$ :

$$\begin{aligned} E_{\text{c}2}-E_{\text{c}1}&=\Delta E_c \\ &= W_d(\vec F) \\ &\Leftrightarrow \\ E_{\text{c}2}&=W_d(\vec F)+ E_{\text{c}1} \\ &=3,75\times10^6+1,25\times 10^6 \\ &=5\times10^6\ \text{J} \end{aligned}$$

• Cela correspond à une vitesse de $10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

Puissance d’une force

Nous l’avons vu plus haut, le travail d’une force sur un objet mesure l’énergie fournie par cette force à l’objet durant son mouvement de $A$ vers $B$. Mais il ne tient pas compte de la durée de ce mouvement : il reste identique, que l’objet ait mis $1\ \text{s}$ ou $1\ \text{min}$ à parcourir le segment $[AB]$.

• C’est la puissance de la force qui va nous permettre de préciser cette information.

Définition

Puissance d’une force :

La puissance $P$ d’une force correspond à son travail par unité de temps.

À retenir

Soit $W_{AB}(\vec F)$ le travail, en joule ($\text{J}$), fourni par une force $\vec F$ sur un objet le long d’un segment $[AB]$.
Soit $\Delta t$ la durée de ce travail.

Alors, la puissance $P$ développée par $\vec F$ est égale à :

$$P=\dfrac { W_{AB}(\vec F)}{\Delta t}$$

• Une puissance s’exprime en watt ($\text{W}$).

Nous pouvons exprimer cette formule de la façon suivante, pour calculer le travail de $\vec F$ si nous connaissons la puissance $P$ et la durée $\Delta t$ du travail :

$$W_{AB}(\vec F)=P\cdot \Delta t$$

Forces conservatives et non conservatives

Définissons maintenant ce qu’est une force conservative, ainsi que l’énergie potentielle qui y est liée. Nous aborderons ensuite un exemple de force non conservative : les forces de frottements.

Force conservative

Définition

Force conservative :

Une force est dite conservative si le travail produit par cette force depuis un point $A$ jusqu’à un point $B$ est indépendant du chemin parcouru. Une telle force dérive d’une énergie potentielle $E_p$ et le travail de cette force depuis $A$ jusqu’à $B$ s’exprime ainsi :

$$W_{AB}(\vec F)=E_\text{p}(B)-E_\text{p}(A)$$

À retenir

Les forces conservatives incluent notamment la force gravitationnelle et la force électrostatique.

Énergie potentielle

Il convient maintenant d’expliciter la notion d’énergie potentielle.

Définition

Énergie potentielle :

L’énergie potentielle est l’énergie que possède un objet en raison de sa position par rapport à d’autres objets (cas de l’énergie potentielle de pesanteur), des contraintes internes (cas de l’énergie potentielle élastique), de sa charge électrique (énergie potentielle électrostatique), etc.

Étudions cette notion avec un exemple concret.

Si nous posons un objet quelconque sur une trappe au cœur d’une table horizontale sans y toucher, nous n’observons aucun mouvement. L’objet ne bouge pas et n’a donc aucune énergie cinétique.

Néanmoins, si on ouvre la trappe, l’objet se met instantanément en mouvement et se dote d’une énergie cinétique.

Nous considérons donc que l’objet disposait d’une certaine forme d’énergie due à son interaction de gravitation avec la Terre, imperceptible de prime abord, qui ne demande qu’à s’exprimer en étant convertie en énergie cinétique.

• Nous qualifions donc cette énergie d’énergie « potentielle ».

L’énergie potentielle mise en œuvre ci-dessus est l’énergie potentielle de pesanteur.

Définition

Énergie potentielle de pesanteur :

L’énergie potentielle de pesanteur est l’énergie mise en œuvre lors d’une interaction gravitationnelle.

Si nous considérons un axe vertical dirigé vers le haut et une altitude de référence $z_0$ pour laquelle l’énergie potentielle de pesanteur est nulle, un objet de masse $m$ situé à une altitude $z$ est doté d’une énergie potentielle de pesanteur :

$$E_\text{pp}=mg(z-z_0)$$

Avec $g$ l’intensité de pesanteur ($\approx9,81\ \text{m}\cdot{s}^{-2}$ sur Terre, à l’altitude de la mer).

Force de frottements

La force de frottements, souvent négligée en première approche dans les problèmes, est un phénomène très important dans la vie de tous les jours. C’est elle, par exemple, qui impose de maintenir une poussée constante pour permettre une vitesse uniforme.

Définition

Force de frottements :

La force de frottements est une force non conservative dirigée dans le sens contraire de celui du mouvement et dont la norme varie avec la vitesse :

$$F_\text{frottements}=\alpha v^2$$

Avec $\alpha$ un coefficient dépendant de la nature du milieu dans lequel se propage le corps et de sa géométrie.

• Cette force s’oppose au mouvement. Son travail est donc toujours négatif.

Exemple

Prenons le cas d’un palet de curling de $1\ \text{kg}$ se déplaçant à une vitesse de $5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

• Ce palet, soumis à une force de frottements de norme $f$, s’arrête au bout d’une longueur $d=25\ \text{m}$.
• Ce palet a initialement une énergie cinétique de $0,5\times5^2=12,5\ \text{J}$ et, à la fin, une énergie cinétique nulle.
• D’après le théorème de l’énergie cinétique, ce palet, depuis son départ jusqu’à son arrêt, subit de la part de la force de frottements un travail égal à :

$$\begin{aligned} -fd&=0-12,5 \\ &= -12,5\ \text{J} \end{aligned}$$

• On peut ainsi calculer la norme de la vitesse de frottements subie par le palet :

$$\begin{aligned} f&=\dfrac{12,5}{25} \\ &=0,5\ \text{N} \end{aligned}$$

Énergie mécanique

Le théorème de l’énergie cinétique vu ci-dessus peut être généralisé à l’énergie mécanique.

Théorème de l’énergie mécanique

Définition

Énergie mécanique :

L’énergie mécanique $E_\text{m}$ d’un système est la somme de son énergie cinétique $E_\text{c}$ et de ses énergies potentielles $E_\text{p}$ :

$$ E_\text{m}= E_\text{c}+ E_\text{p}$$

À retenir

Un système soumis uniquement à des forces conservatives est caractérisé par une énergie mécanique constante, ce qui nous amène au théorème de l’énergie mécanique.

Théorème

Théorème de l’énergie mécanique :

Soit un corps de masse constante parcourant un segment $[AB]$ et soumis à une ou plusieurs forces $\vec F$, la variation d’énergie mécanique $\Delta_{\text{m}AB}$ est déterminée par le travail des forces non conservatives $\vec F_\text{nc}$ s’appliquant sur cette masse :

$$\Delta E_{\text{m}AB}=\sum W_{AB}(\vec F_\text{nc})$$

Exemple de problème

• Typiquement, dans un problème, il vous sera demandé d’étudier un système d’abord sans frottements, avec une énergie mécanique qui se conserve.

Étudions par exemple un corps en chute libre tombant sans vitesse initiale d’une hauteur $h$.
Considérons ainsi un surfeur de masse $80\ \text{kg}$ descendant du haut d’une rampe de hauteur $h=5\ \text{m}$, sur longueur $d=6\ \text{m}$ sans frottements.

Le principe de conservation de l’énergie mécanique impose alors que la différence d’énergie potentielle de pesanteur, égale à $-mgh$, est opposée à la variation d’énergie cinétique du corps, $\dfrac{1}{2}mv_f^2$, où $v_f$ est la vitesse acquise par l’objet à la fin de sa chute.

• Ainsi :

$$\begin{aligned} mgh=\dfrac{1}{2}mv_f^2\Leftrightarrow v_f&=\sqrt{2gh} \\ &\approx\sqrt{2\times9,81\times5} \\ &\approx9,90\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}$$

• Il pourrait alors vous être demandé de prendre en considération les frottements.

On considère alors que la surface de la rampe descendante n’est pas parfaitement lisse, et que le surfeur y est soumis à une force de frottements d’une intensité de $100\ \text{N}$. Cette force a la même direction que le mouvement, mais est de sens opposé.
Il s’agit alors de déterminer à quelle hauteur pourrait remonter le surfeur, en considérant que la rampe remontée est, elle, parfaitement lisse – on néglige donc, cette fois, les frottements.

Calculons le travail de la force de frottements :

$$\begin{aligned} W_d(\vec F)&=f\times d\times \cos (180\degree) \\ &=100\times6\times(-1) \\ &=-600\ \text{J} \end{aligned}$$

Le surfeur aura alors, en bas de la rampe, l'énergie $E_\text{m}$ égale à son énergie potentielle de pesanteur initiale amputée de $600\ \text{J}$ :

$$\begin{aligned} E_\text{m}&\approx80\times9,81\times5-600 \\ &\approx3\,324\ \text{J} \end{aligned}$$

Le surfeur pourra alors remonter une rampe d’une hauteur maximale $h_\text{max}$ telle que son énergie potentielle de pesanteur finale sera égale à son énergie au bas de la rampe, soit $3\,424\ \text{J}$.

• Le calcul nous donne alors :

$$\begin{aligned} h_\text{max}&=\dfrac{ E_\text{m}}{mg} \\ &\approx\dfrac{3\,324}{80\times9,81} \\ &\approx4,24\ \text{m} \end{aligned}$$