Cours : Inéquation et utilisation du calcul littéral pour résoudre et démontrer

Rappel

• Une équation est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu désigné par une lettre et appelé l’inconnue. Une valeur de ce nombre pour laquelle l’égalité est vraie est une solution de l’équation.
• Résoudre une équation c’est trouver toutes les valeurs qui rendent l’égalité vraie lorsqu’elles sont substituées à l’inconnue.
• Pour résoudre une équation, il faut isoler $x$ en transformant l’équation proposée en équations successives ayant les mêmes solutions grâce aux propriétés du maintien de l’égalité lorsqu’on effectue la même opération sur les deux membres.
• On la ramène ainsi à une équation d’inconnue $x$ de la forme $ax=b$, et donc la solution est $x=\frac{b}{a}$ ($a\neq0$) en équation de référence.

Inéquation du premier degré à une inconnue

Définition

Définition

Inéquation :

Une inéquation est une inégalité dans laquelle une lettre désigne un nombre inconnu, cette lettre est appelée une inconnue.
La solution d’une inéquation est un nombre qui vérifie l’inégalité, c’est-à-dire que ce dernier confirme l’inégalité lorsqu’il est substitué à l’inconnue.
Résoudre une inéquation c’est trouver toutes ses solutions.

• $a>b$ est une inéquation qui se lit « $a$ est plus grand que $b$ ou $a$ est strictement supérieur à $b$ ».
• $a\geq b$ est une inéquation qui se lit « $a$ est plus grand ou égal à $b$ ou $a$ est supérieur ou égal à $b$ ».
• $a<b$ est une inéquation qui se lit « $a$ est plus petit que $b$ ou $a$ est strictement inférieur à $b$ ».
• $a\leq b$ est une inéquation qui se lit « $a$ est plus petit ou égal à $b$ ou $a$ est inférieur ou égal à $b$ ».

Tester des valeurs dans une inéquation

Exemple

Considérons l’inéquation suivante dont $x$ est l’inconnue :

$4x-1\leq x+5$

$4x-1$ est le premier membre de l’inéquation.

$x+5$ est le deuxième membre de l’inéquation.

• Si $x=-2$ alors $4\mathbf{x}-1=4\times\mathbf{(-2)}-1=-8-1=-9$
  et $\mathbf {x} +5=\mathbf{-2}+5=3$
  Si $x=-2$ alors le premier membre vaut $-9$ et le deuxième membre vaut $3$, donc le premier membre est inférieur au deuxième membre.
• $x=-2$ vérifie l’inéquation, c’est donc une solution de l’inéquation.
• Si $x=3$ alors le premier membre vaut $11$ et le deuxième membre vaut $8$, donc le premier membre n’est pas inférieur au deuxième membre.
• Donc $3$ n’est pas une solution de l’inéquation.

Propriété des inégalités

• Addition ou soustraction et inégalité

Propriété

$a$, $b$ et $c$ désignent trois nombres relatifs.

Si $a\leq b$ alors $a+c\leq b+c$.

Si $a\leq b$ alors $a-c\leq b-c$.

Lorsque l’on ajoute (ou l’on retranche) un même nombre aux deux membres d’une inégalité, on ne change pas le sens de cette inégalité.

• Multiplication et inégalité

Propriété

$a$, $b$ et $c$ désignent trois nombres relatifs.

Si $a\leq b$ et $c$ positif alors $a\times c\leq b\times c$.

Si $a\leq b$ et $c$ négatif alors $a\times c\geq b\times c$

Lorsque l’on multiplie par un même nombre non nul les deux membres d’une inégalité :

• si ce nombre est positif, alors on conserve le sens de cette inégalité ;
• si ce nombre est négatif, alors on inverse le sens de cette inégalité.

Exemple

• $x-10<13$

Ajoutons $10$ aux deux membres de l’inégalité.

$$\begin{aligned} x-10+10&<13+10 \\ x&<23 \end{aligned}$$ L’inégalité ne change pas de sens.

• $3x\leq-12$

Multiplions par $\dfrac 13$ les deux membres de l’inégalité.

$$\begin{aligned} 3x\times \frac13&\leqslant - 12 \times \frac13 \\ x&\leqslant-4 \end{aligned}$$

L’inégalité ne change pas de sens puisque $\dfrac13$ est un nombre positif.

• $-5x<35$

Multiplions par $\dfrac{-1}{5}$ les deux membres de l’inégalité.

$$\begin{aligned} -5x\times \left(-\frac15\right)&>35\times \left(-\frac15\right) \\ x&>-7 \end{aligned}$$

L’inégalité change de sens puisque $\dfrac{-1}{5}$ est un nombre négatif.

Représentation graphique des solutions d’une inéquation

Nous représentons les solutions d’une inéquation sur une droite graduée. Elles sont surlignées en couleur.

Signe inférieur ou égal : le crochet est tourné vers les solutions car 7 fait partie des solutions.

Signe strictement supérieur : le crochet n’est pas tourné vers les solutions car -10 ne fait pas partie des solutions.

Résolution d’une inéquation du premier degré à une inconnue

Méthodologie

À retenir

La résolution d’une inéquation comporte 5 étapes :

• choix de l’inconnue ;
• traduction de l’énoncé par une inéquation ;
• résolution de l’inéquation ;
• compatibilité : la résolution de l’inéquation donne un ensemble de solutions dans lesquelles il y en a parfois certaines qu’il faut écarter car elles sont « incompatibles » ou non plausibles pour le problème ;
• conclusion.

Exemple

Énoncé

L’association sportive d’un collège souhaite acheter des licences pour les élèves désirant pratiquer du sport au sein de l’établissement.

Il existe deux sortes de tarifs :

• tarif A : la licence coûte 18 euros par élève ;
• tarif B : le collège paye un forfait de 100 euros et la licence coûte 15 euros par élève.

À partir de combien de licenciés est-il plus avantageux pour ce collège de choisir le tarif B ?

Solution

• Choix de l’inconnue

$x$ est le nombre de licenciés de ce collège.

• Traduction de l’énoncé par une inéquation

Avec le tarif A, la dépense du collège est $18\times x$, c’est-à-dire $18x$. Avec le tarif B, la dépense du collège est $15\times x+100$, c’est-à-dire $15x+100$.
On cherche pour quelle valeur de $x$ le tarif B est moins cher que le tarif A. Ce qui revient à savoir pour quelles valeurs de $x$ nous avons $15x+100<18x$.

• Résolution de l’inéquation

$$15x+100<18x$$

Nous retranchons $15x$ à chaque membre de l’inégalité :

$$15x+100-15x<18x-15x$$

Nous réduisons chaque membre de l’inégalité :

$$100<3x$$

Nous multiplions chaque membre de l’inégalité par $\dfrac13$ sans changer le sens de cette inégalité (puisque $\dfrac13$ est positif) :

$$100\times \dfrac13<3x\times \dfrac13$$

Nous réduisons chaque membre de l’inégalité :

$$\dfrac{100}{3}<x$$

Les solutions de l’inéquation sont représentées graphiquement en rouge.

• Compatibilité

$x$ désigne un nombre de licenciés, donc $x$ doit être un nombre entier positif.

Comme $\dfrac{100}{3}\approx 33,3$, les nombres entiers qui conviennent doivent être strictement supérieurs à $33,3$ donc supérieurs ou égaux à $34$.

• Conclusion

Il est plus avantageux pour le collège de choisir le tarif B à partir de $34$ licenciés.