Cours : Généralités sur les fonctions

Notion de fonction

Ensemble $\mathbb{R}$ et intervalles de $\mathbb{R}$

Définition

Ensemble des nombres réels :

L’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée est appelé ensemble des nombres réels. On le note $\mathbb{R}$.

Astuce

Il existe plusieurs ensembles en mathématiques. Il est important de les connaître, ainsi que de connaître leurs relations.

L’ensemble des nombres réels comprend tous les nombres connus, peu importe leur écriture mathématique : $0_\ ;\ 3_\ ;\ -5,1\ ;\ \dfrac{4}{3}\ ;\ \sqrt{5}$…

Soit $a$ et $b$ deux nombres réels. On définit les intervalles $[a\ ;\,b]\ , [a\ ;\,b[\ , ]a\ ;\,b]$ et $]a\ ;\,b[$ de la manière suivante :

Ici, $a$ et $b$ sont appelés bornes de l’intervalle. On dit des intervalles ci-dessus qu’ils sont bornés.

Définition

Intervalle borné :

Un intervalle est borné lorsque les valeurs qui l’encadrent sont des réels : $[a\ ;\, b]$.

Définition

Intervalle non borné :

Un intervalle est non borné lorsqu’il contient le signe $+ \infty$ ou $- \infty$ à la place d'un réel : $]-\infty\ ;\,a]$ ou $[b\ ;\,+\infty[$.

Définition

Intervalle fermé :

Un intervalle est fermé lorsque les valeurs qui l’encadrent sont incluses dans l’intervalle. Il se présente avec les crochets vers l’intérieur.

Définition

Intervalle ouvert :

Un intervalle est ouvert lorsque les valeurs qui l’encadrent ne sont pas incluses dans l’intervalle. Il se présente avec les crochets vers l’extérieur.

Par exemple, l’intervalle ouvert $]a\ ;\,b[ $ est l’ensemble des réels strictement compris entre $a$ et $b$. Dans ce cas, les bornes $a$ et $b$ n’appartiennent pas à l’intervalle.

Attention

Un intervalle peut être semi-fermé à gauche et semi-ouvert à droite : $[a\ ;\ b[$ ou bien être semi-ouvert à gauche et semi-fermé à droite : $]a\ ;\ b]$.
Par convention, on dira qu’ils sont semi-ouverts.

On définit de même les intervalles non bornés $[a\ ;\,+\infty[\ , ]-\infty\ ;\, a]\ , ]a\ ;\, +\infty[$ et $]-\infty\ ;\, a[$ :

Par exemple, dans la deuxième ligne de ce tableau, l’intervalle $]-\infty\ ;\,a]$ est l’ensemble des réels inférieurs ou égal à $a$. Dans ce cas, la borne $a$ appartient à l’intervalle.

Astuce

Le sens des crochets indique si la borne appartient ou non à l’intervalle. Lorsque le crochet est tourné vers l’intérieur, la borne appartient à l’intervalle.

Définition

Intersection de deux intervalles :

L’intersection de deux intervalles $I\ \text{et}\ J$ est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $I\ $ et à $J\ $, on le note : $I \cap J$ (ce qui se lit $I\ $ inter $J$).

Définition

Réunion de deux intervalles :

La réunion de deux intervalles $I\ \text{et}\ J$ est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $I\ $ ou à $J\ $, on le note : $I \cup J$ (ce qui se lit $I\ $ union $J\ $).

Exemple

Soit $I=[-1\ ;\,3] $ et $J=]1\ ;\, 4[$

• L’ensemble des nombres qui appartiennent à $I$ et à $J$ est l’intervalle $I\cap J=]1\ ;\, 3]$
• L’ensemble des nombres qui appartiennent à $I$ ou à $J$ est l’intervalle $I\cup J=[-1\ ;\, 4[$

Astuce

Si tu as du mal à trouver l’intersection ou la réunion de deux intervalles, mieux vaut les représenter sur une droite graduée avec deux couleurs différentes (comme dans l’exemple précédent).

• L’intersection est l’intervalle où tu vois les deux couleurs en même temps.
• La réunion est le plus grand intervalle que tu peux construire avec au minimum une couleur.

Notions de fonction, image et antécédent

Définition

Fonction :

On définit une fonction $f$ sur un ensemble $D$ lorsque l’on associe à chaque réel $x$ de l’ensemble $D$ un réel $y$ et un seul. On note :

$f:x\mapsto y$ ou $f:x\mapsto f(x)=y$

• $D$ est appelé l’ensemble de définition de $f$.
• Le nombre $y$ est appelé l’image de $x$ par la fonction $f$.
• Le nombre $x$ est appelé un antécédent de $y$ par la fonction $f$.

Il y a trois façons de présenter une fonction :

• avec une formule explicite ;
• avec un tableau de valeurs ;
• avec une courbe tracée dans un repère.

Représentation d’une fonction : formule explicite

On considère par exemple la fonction $f$ définie par la formule $f(x)=-3x+1$.

Pour calculer une image, on remplace simplement le $x$ par le nombre donné.

• L’image de $2$ est $f(2)=-3×2+1=-6+1=-5$.
• L’image de $-1$ est $f(-1)=-3×(-1)+1=3+1=4$.

Pour calculer un antécédent, il faut résoudre une équation.

• Pour l’antécédent de $10$ : $-3x+1=10$ alors $-3x=9$ et $x=-3$
• On dit que l’antécédent de $10$ est $-3$.
• Pour l’antécédent de $-5$ : $-3x+1=-5$ alors $-3x=-6$ et $x=2$
• On dit que l’antécédent de $-5$ est $2$.

Représentation d’une fonction : tableau

On considère par exemple la fonction définie par le tableau de valeurs suivant :

Par convention, dans un tableau, les antécédents sont toujours sur la première ligne (ou colonne) et les images sur la seconde ligne (ou colonne).

• Ici par exemple, l’image de $7,98$ est $1\,055$ ; on note $f(7,98)=1\,055$.

Représentation d’une fonction : courbe

La troisième façon de présenter une fonction, c’est de tracer sa courbe dans un repère.

Représentation graphique d’une fonction

Courbe représentative d’une fonction

Définition

Courbe représentative :

Dans un repère, la courbe représentative $\mathscr C$ (ou représentation graphique) d’une fonction $f$ est l’ensemble des points de coordonnées $\big(x\ ;\,f(x)\big)$ où $x$ appartient à l’ensemble de définition $D$.

Cette figure montre la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $D=[-4\ ;\, 5]$.

• On peut lire graphiquement que l’image de $-4$ est $1$ : on écrit $f(-4)=1$.
• On peut également dire que $-4$ est un antécédent de $1$.
• L’image de $5$ est $-1$ : on écrit $f(5)=-1$.
• On peut également dire que $5$ est un antécédent de $-1$.

À retenir

L’axe horizontal s’appelle axe des abscisses, on y lit les antécédents.
L’axe vertical, quant à lui, s’appelle axe des ordonnées et on y lit les images.

Résolution graphique d’équations et inéquations

Résolution graphique de $f(x)=k$ avec $k \in \mathbb R$

Les solutions de l’équation $f(x)=k$, avec $k \in \mathbb R$, sont les abscisses des points d’intersection de la droite horizontale $y=k$ avec la courbe représentative de $f$.

En pratique :

• on place sur l’axe des ordonnées le réel $k$ ;
• on trace la droite parallèle à l’axe des abscisses qui passe par ce point ;
• on lit les abscisses des points d’intersection de cette droite avec la courbe $\mathscr C_f$.

Sur cette figure, les solutions de l’équation $f(x)=k$ sont les nombres $a$, $b$ et $c$.

• On note $\lbrace a\ ;\, b\ ;\, c \rbrace$ l’ensemble des solutions de l’équation $f(x)=k$, avec $k \in \mathbb R$.

Résolution graphique de $f(x)=g(x)$

Les solutions de l’équation $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d’intersection de la courbe représentative de $f$ avec la courbe représentative de $g$.

Sur cette figure, les solutions de l’équation $f(x)=g(x)$ sont les nombres $d$ et $e$.

• On note $S=\lbrace d\ ;\, e\rbrace$ les solutions de l’équation $f(x)=g(x)$.

Résolution graphique de l’inéquation $f(x) < k$ avec $k \in \mathbb R$

Les solutions de l’inéquation $f(x) < k$, avec $k \in \mathbb R$, sont les abscisses des points de la courbe $\mathscr C_f$ d’ordonnée strictement inférieure à $k$.

En pratique :

• on place sur l’axe des ordonnées le réel $k$ ;
• on trace la droite parallèle à l’axe des abscisses qui passe par ce point ;
• on s’intéresse à tous les points de la courbe situés en dessous de cette droite ;
• on donne leurs abscisses en utilisant les intervalles.

• On note $S=]-\infty\ ;\, a[\cup]b\ ;\, +\infty[$, l’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x) < k$.

Résolution graphique de l’inéquation $f(x) < g(x)$

Les solutions de l’inéquation $f(x) < g(x)$ sont les abscisses des points de la courbe $\mathscr C_f$ situés en dessous de la courbe $\mathscr C_g$.

• On note $S=]-\infty\ ;\,c[$, les solutions de l’inéquation $f(x) < g(x)$.

À retenir

En cas d’inégalité stricte ($<$ ou $>$), les crochets seront tournés vers l’extérieur de l’intervalle alors que, dans le cas d’inégalité large ($\leq$ ou $\geq$), les crochets seront tournés vers l’intérieur de l’intervalle.

Variations et extrema

Sens de variation

Définition

Sens de variation d’une fonction :

Donner le sens de variation d’une fonction, c’est dire si elle est croissante ou décroissante dans un intervalle donné.

Définition

Fonction croissante :

Soit $f$ une fonction et $I$ un intervalle contenu dans l’ensemble de définition de cette fonction.

• Dire que $f$ est croissante sur $I$, c’est dire que, pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à $I$, si $a<b$, alors $f(a)\leq f(b)$.
• Dire que $f$ est strictement croissante sur $I$, c’est dire que, pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à $I$, si $a<b$, alors $f(a)<f(b)$.
• On dit qu’une fonction croissante conserve l’ordre.

Définition

Fonction décroissante :

Soit $f$ une fonction et $I$ un intervalle contenu dans l’ensemble de définition de cette fonction.

• Dire que $f$ est décroissante sur $I$, c’est dire que, pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à $I$, si $a<b$, alors $f(a)\geq f(b)$.
• Dire que $f$ est strictement décroissante sur $I$, c’est dire que, pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à $I$, si $a<b$, alors $f(a) > f(b)$.
• On dit qu’une fonction décroissante inverse l’ordre.

Remarquons qu'une fonction constante peut être considérée comme à la fois croissante et décroissante.

Tableau de variations, minimum, maximum

Une fois que l’on connaît les variations d’une fonction, on peut les « résumer » dans un tableau de variations.

• La première ligne contient les bornes des intervalles sur lesquels $f$ est croissante ou décroissante : il s’agit des valeurs de $x$ (antécédents), que l’on peut lire sur l’axe des abscisses.
• La deuxième ligne contient les flèches qui symbolisent les variations de $f$ et les images des valeurs de $x$ notées dans la première ligne.

À retenir

Lorsque la fonction est croissante, la flèche monte, et lorsque la fonction est décroissante, la flèche descend.

Exemple

• La fonction est définie sur $[-4\ ;\, 5]$.
• La fonction est croissante sur $[-4\ ;\, -1]$ et sur $[2\ ;\, 5]$.
• La fonction est décroissante sur $[-1\ ;\, 2]$.

• Le maximum de la fonction est $4$ et il est atteint pour $x=-1$.
• Le minimum de la fonction est $1$ et il est atteint pour $x=2$.

En regardant cet exemple, on voit bien la correspondance entre le graphique et le tableau.

À retenir

Si l’on demande dans un exercice de donner les éventuels extrema, il s’agit de donner le minimum et le maximum (s’ils existent bien sûr).

Astuce

Il est possible de calculer ces extrema à l’aide d'une calculatrice (CASIO, TI).