Fiche de révision : Équations de droites

Vecteur directeur d’une droite

• On appelle vecteur directeur $\vec{v}$ d’une droite $(d)$ un vecteur qui a la même direction que $(d)$. Il n’est pas unique : deux points quelconques de la droite peuvent définir un vecteur directeur.
• Si on a deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ directeurs de la droite $(d)$, alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires et on a $det(\vec{u}, \vec{v})=0$

Déterminer l'équation d'une droite

Il y a 3 types de droites :

• Les droites parallèles à l'axe des ordonnées : les droites verticales
• L'équation réduite d'une droite verticale s'écrit $x=k$ où $k$ est un nombre réel constant.
• Pour trouver l'équation réduite d'une droite verticale, il suffit de connaître un point qui appartient à cette droite et de prendre son abscisse.
• Les droites parallèles à l'axe des abscisses : les droites horizontales
• L'équation réduite d'une droite horizontale s'écrit $y=k$ où $k$ est un nombre réel constant.
• Pour trouver l'équation réduite d'une droite horizontale, il suffit de connaître un point qui appartient à cette droite et de prendre son ordonnée.
• Les droites non parallèles aux axes du repère : les droites obliques
• L'équation réduite d'une droite oblique s'écrit $y=ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels constants. $a$ est le coefficient directeur. C'est le nombre qui multiplie l'abscisse $x$ des points de la droite. $b$ est l'ordonnée à l'origine. C'est le nombre qui est additionné ou soustrait.
• Pour trouver le coefficient directeur d'une droite, on a besoin de connaître deux points $\small A\,(x_A\ ;y_A)$ et $\small B\,(x_B\ ;y_B)$ qui appartiennent à la droite dont on cherche l'équation réduite. Ensuite, il suffit d'appliquer la formule : $ a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
• Pour trouver l'ordonnée à l'origine, on utilise à nouveau l'un des deux points, par exemple le point $\small A\,(x_A\ ;y_A)$. Comme il appartient à la droite cherchée, on peut écrire l'équation : $\small y_A=a\times x_A+b$
• Équation cartésienne d’une droite : soit une droite $(d)$ déterminée par une point $\small \text{A}\,(x_A\,; y_A)$ et un vecteur directeur $\vec{u}\,(-b\,; a)$, avec $a$ et $b$ non nuls. Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est du type : $ax+by+c=0$

Représentation graphique d'une droite

• Cette droite est la représentation graphique de la fonction constante $f(x)=5$.
• Cette droite est une droite oblique qui a pour coefficient directeur $0$ et pour ordonnée à l'origine $5$.

• Cette droite est la représentation graphique de la fonction affine $f(x) = 3x + 1$.
• Cette droite est une droite oblique qui a pour coefficient directeur $3$ et ordonnée à l'origine $1$.

Résolution de système d'équations

• Résolution d'un système : les nombres $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$ et $c'$ sont des réels avec $a\neq0$, $b\neq0$, $a'\neq0$ et $b'\neq0$.
• Soit le système $\begin{aligned}\left\lbrace \begin {array}{lcl} ax+by=c\\ a'x+b'y=c'\\ \end{array} \right.\end{aligned}$
• Résoudre le système revient à déterminer le couple de réels $(x\ ;y)$ vérifiant simultanément les deux équations.
• Résolution graphique d'un système :soit le système $\begin{aligned}\left\lbrace \begin {array}{lcl} ax+by&=&c\\ a'x+b'y&=&c'\\ \end{array} \right.\end{aligned}$
• Résoudre graphiquement un système revient à déterminer le point d'intersection des droites d'équation $ax+by=c$ et $a'x+b'y=c'$
• Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.
• Pour résoudre un système d'équations, on peut utiliser :
• La méthode par substitution, utilisée lorsqu'une des inconnues a pour coefficient $1$.
• À l'aide de l'une des équations, on exprime une inconnue en fonction de l'autre. On reporte cette expression dans la seconde équation qui ne comporte plus qu'une inconnue, équation que l'on sait résoudre. Il suffit ensuite de calculer la seconde inconnue.
• La méthode par combinaison, utilisée lorsqu'aucune des inconnues n'a pour coefficient $1$.
• On multiplie chacune des équations par un réel approprié de telle façon qu'en additionnant les deux nouvelles équations, l'une des inconnues est éliminée. On peut alors déterminer l'autre inconnue et résoudre le système.