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Cours : Additionner et soustraire des nombres relatifs

Additionner et soustraire des nombres relatifs

Introduction :

Au fil des siècles sont apparus les nombres relatifs pour les besoins des hommes dans de nombreux domaines.

  • La plongée permet d’observer les milieux sous-marins à une profondeur de  $-30\text{ m}$ ou $-100\text{ m}$.
  • Un avion vole à une altitude de $9500\text{ m}$.
  • À partir de la Révolution de 1789, le degré Celsius fut adopté pour mesurer les températures. En hiver, la température peut descendre $12\degree \text{C}$ « au dessous de zéro », soit $-12\degree \text{C}$. En été elle peut monter $30\degree \text{C}$ « au dessus de zéro », soit $+30\degree \text{C}$.

Nous allons voir dans cette leçon que les nombres peuvent se placer avant ou après le zéro. Ce sont les nombres relatifs.

Dans une première partie, nous définirons la notion de nombres relatifs. Puis, nous comparerons les nombres relatifs. En troisième partie, nous verrons le cas de l’addition de deux nombres relatifs. Enfin, nous nous intéresserons à la soustraction de deux nombres relatifs.

Notion de nombres relatifs

Définition

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Définition

Nombres relatifs :

Ils correspondent à l’ensemble des nombres positifs et négatifs. Un nombre relatif est formé d’un signe $+$ ou $-$ et d’un nombre appelé « distance à zéro ».

Les nombres plus grands que $0$ sont appelés nombres positifs.
On peut les noter avec le signe $+$ mais en général, on ne l’écrit pas.

  • $+5$ s’écrit simplement $5$.

Les nombres plus petits que $0$ sont appelés nombres négatifs.
On les note avec le signe $-$.

  • $-2,5$

Le nombre $0$ est à la fois positif et négatif.

Les nombres négatifs et les nombres positifs constituent les nombres relatifs.

Comparaison de nombres relatifs

Comparaison d’un nombre négatif et d’un nombre positif

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À retenir

Un nombre négatif est plus petit qu’un nombre positif.

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Exemple

$-2<5$
$-1000<1$
$-0,04<0,1$

Comparaison de deux nombres positifs

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À retenir

De deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.

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Exemple

$1<7$
$25,2<25,21$
$5,46<5,8$

Comparaison de deux nombres négatifs

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À retenir

De deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro.

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Exemple

$-2>-5$
$-14>-517$
$-0,5>-100$

Addition de deux nombres relatifs

Additionner deux nombres relatifs de même signe

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Propriété

Si deux nombres relatifs sont de même signe, alors leur somme :

  • a pour signe le signe commun aux deux nombres ;
  • a pour distance à zéro la somme des distances à zéro des deux nombres.
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Exemple

Somme de deux nombres positifs :

$$(+3,4)+(+2,5)=+5,9$$

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Exemple

Somme de deux nombres négatifs :

$$(-6,3)+(-3,7)=-10$$

Additionner deux nombres relatifs de signes contraires

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Propriété

Si deux nombres relatifs sont de signes contraires, alors leur somme :

  • a pour signe le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ;
  • a pour distance à zéro la différence des distances à zéro des deux nombres.
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Exemple

$$(-3)+7=4$$

  • Comme $7>3$, la somme a le signe de $7$, soit le signe $+$.
  • La différence des distances à zéro est $7-3=4$
  • La somme de $-3$ et $7$ est donc $+4$, ou plus simplement $4$.
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Exemple

$$2+(-8)=-6$$

  • Comme $8>2$, la somme a le signe de $-8$, soit le signe $-$.
  • La différence des distances à zéro est $8-2=6$
  • La somme de $2$ et $-8$ est donc $-6$.

Cas particulier : les nombres opposés

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Définition

Nombres opposés :

Dire que deux nombres relatifs sont opposés signifie :

  • qu’ils ont des signes contraires ;
  • qu'ils ont la même distance à zéro ;
  • et que leur somme est égale à zéro.
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Exemple

$-7$ et $7$ sont des nombres opposés.
En effet, l’un porte le signe $-$ et l’autre le signe $+$ et leur somme est égale à $0$ :
$- 7 + 7 = 0$

De même, $4,1$ et $-4,1$ sont des nombres opposés.
En effet, l’un porte le signe $-$ et l’autre le signe $+$ et leur somme est égale à $0$ :
$4,1 + (-4,1) = 0$

Propriétés de l’addition

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Propriété

Pour calculer une somme de plusieurs termes, on peut :

  • modifier l’ordre des termes ;
  • regrouper différemment les termes.

.

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Exemple

$3 + (-7) = -4$ et $-7 + 3 = -4$

  • L’ordre des termes est modifié mais la somme ne change pas.
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Exemple

$\begin{aligned} A& = -6 + 4,3 + (-2,3) \\ A& = -8,3 + 4,3 \\ A& = -4 \end{aligned}$

$$\text{et}$$

$\begin{aligned} A &= -6 + 4,3 + (-2,3)\\ A &= -6 + 2 \\ A &= -4 \end{aligned}$

  • On regroupe différemment les termes mais la somme ne change pas.

Suite d’additions

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Exemple

Calculons à la main l’expression $\text{B}$ en détaillant les étapes.

$$\text B = -4,45 + 2,3 + (-2,7) + 4,45 + (-1,6)$$

On peut regrouper les nombres opposés $-4,45$ et $4,45$ pour profiter du fait que $-4,45 + 4,45 = 0$

$\begin{aligned} \text B &= 2,3 + (-2,7) + (-1,6) + (-4,45) + 4,45 \\ \text B &= 2,3 + (-2,7) + (-1,6) \end{aligned}$

On peut effectuer les calculs de la gauche vers la droite :

$\begin{aligned} \text B &= 2,3 + (-2,7) + (-1,6) \\ \text B &= (-0,4) + (-1,6) \\ \text B &= -2 \\ \end{aligned}$

$$\text{ou}$$

On peut regrouper les nombres positifs d’un côté et les nombres négatifs de l’autre :

$\begin{aligned} \text B& = 2,3 + (-2,7) + (-1,6) \\ \text B& = 2,3 + (-4,3) \\ \text B& = -2 \end{aligned}$

Soustraction de deux nombres relatifs

Méthode

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Propriété

Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.

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Exemple

$2 - 7 = 2 + (-7) = -5$
L’opposé de $7$ est $-7$.

$8 - (-2) = 8 + 2 = 10$
L’opposé de $2$ est $-2$.

Suite d’additions et de soustractions

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Exemple

Calculons à la main l’expression $\text{C}$ en détaillant les étapes.

$$\text C = -5 + 3 - (-4) + 12 - 1 + 7 - 4$$

  • On repère les soustractions.

$\text C = -5 + 3 \red{- (-4)} + 12 \red{- 1} + 7 \red{- 4}$

  • On transforme les soustractions en « additions d’opposés ».

$\text C = -5 + 3 \red{+4} + 12 \red{+ (- 1)} + 7 \red{+ (- 4)}$

  • On élimine les nombres opposés.

$\begin{aligned} \text C& = -5 + 3 + 12 + (-1) + 7 \red{+ 4 + (-4)} \\ \text C& = -5 + 3 + 12 + (-1) + 7 \end{aligned}$

  • On regroupe les termes positifs et les termes négatifs.

$\begin{aligned} \text C& = -5 + (-1) + 3 + 12 + 7 \\ \text C& = -6 + 22 \\ \text C& = 16 \end{aligned}$

Conclusion :

La maîtrise des nombres relatifs permet de mieux comprendre cet énoncé du mathématicien indien Brahmagupta du VIIe siècle qui déclara :
« Une dette retranchée du néant devient un bien et un bien retranché du néant devient une dette. »