Cours : Croissance linéaire et fonctions affines

Exemple 1
Soit $f$ la fonction affine telle que $f(-2)=5$ et $f(1)=-7$.
$f$ étant affine, son expression est de la forme $f(x)=mx+p$, avec $m$ et $p$ deux réels à déterminer.

• $m$ est égal au taux d’accroissement de $f$ :
  $$\begin{aligned} m&=\dfrac {f(1)-f(-2)}{1-(-2)} \\ &=\dfrac {-7-5}{3} \\ &=-4 \end{aligned}$$ L’expression de $f$ est donc de la forme $f(x)=-4x+p$.
• On peut ensuite déterminer $p$, car on sait par exemple que l’image de $-2$ par $f$ est égal à $5$.
  On a alors $f(-2)=-4\times (-2)+p=5$, soit $p=5-8=-3$.
  La fonction $f$ est donc définie, pour tout réel $x$, par $f(x)=-4x-3$.

Exemple 2
Soit $g$ la fonction affine représentée, dans un repère, par la droite $(d)$ qui passe par $A\,(-4\ ;\, -10)$ et $B\,(2\ ;\, 8)$.
L’expression de $g$ est de la forme $g(x)=m^{\prime}x+p^{\prime}$, avec $m^{\prime}$ et $p^{\prime}$ deux réels à déterminer.

• le coefficient directeur de $(d)$ est égal à :
  $$\begin{aligned} m^{\prime}&=\dfrac {8-(-10)}{2-(-4)} \\ &=\dfrac {18}{6} \\ &=3 \end{aligned}$$ L’expression de $g$ est donc de la forme $g(x)=3x+p^{\prime}$.
• On peut ensuite déterminer $p^{\prime}$, connaissant par exemple les coordonnées de $B\,(2\ ;\, 8)$, qui appartient à $(d)$.
  Ainsi, $g(2)=3\times 2+p^{\prime}=8$, soit $p^{\prime}=8-6=2$.
  La fonction $g$ est donc définie, pour tout réel $x$, par $g(x)=3x+2$.

• La fonction affine $f:x\mapsto f(x)=-4x-3$ est strictement décroissante sur $\mathbb R$, puisque $-4 < 0$.
• La fonction affine $g:x\mapsto g(x)=3x+2$ est strictement croissante sur $\mathbb R$, puisque $3 > 0$.

Justine décide d’épargner $225\ €$ à chaque début de mois, qu’elle dépose sur son compte d’épargne où il y avait déjà $750\ €$. Elle décide de ne pas retirer d’argent du compte jusqu’à nouvel ordre.
L’évolution du capital disponible sur le compte juste après chaque dépôt est discrète : la variable est le nombre entier et positif de dépôts.
De plus, l’évolution est linéaire : Justine dépose à chaque fois le même montant de $225\ €$, et elle n’y retire rien ; ainsi, le capital augmente toujours du même montant.

On peut modéliser l’évolution de l’épargne de Justine par une suite arithmétique $u$ où, pour tout entier naturel $n$, $u(n)$ est le capital, en euro, disponible sur le compte après $n$ dépôts. La raison de $u$ est alors $r=225$.
Le premier terme $u(0)$ est égal au capital après $0$ dépôt, c’est donc le capital initial, en euro : $u(0)=750$.

• La suite $u$ est une suite arithmétique définie, pour tout entier naturel $n$, par :
  $$u(n)=750+225n$$

Par exemple, après $12$ dépôts mensuels, Justine disposera sur son compte d’épargne d’un montant, en euro, de :
$$u(12)=750+225\times 12=3\,450$$

Pour l’électricité de sa maison, Justine paye un abonnement de $131,90\ €$ par an, puis $0,20\ €$ par kilowattheure consommé.
L’évolution du montant de sa facture annuelle en fonction de sa consommation est continue : la variable est le nombre de kilowattheures consommés, qui peut prendre n’importe quelle valeur réelle positive.
De plus, l’évolution est linéaire : le prix d’un kilowattheure reste constant.

• On peut alors modéliser l’évolution du montant à payer, en euro, en fonction de l’électricité consommée, en kilowattheure, par la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb R^+$ par :
  $$f(x)=0,2x+131,9$$

Par exemple, si Justine consomme dans l’année $3\,813,55\ \text{kWh}$, sa facture, en euro, s’élèvera à :
$$f(3\,813,55)=0,20\times 3\,813,55+131,90=894,61$$