Cours : Compter les entités dans un échantillon de matière

Considérons un bloc formé uniquement d’atomes d’aluminium, de masse $m({\text{bloc}})=100\ \text{g}$.

• Nous cherchons à savoir combien d’atomes $N$ le composent.

Nous pouvons donc retrouver facilement la masse $m({\text{Al})}$ d’un atome d’aluminium, grâce à son nombre de nucléons $A=27$ :

$$\begin{aligned} m({\text{Al}})&=A\times1,67\times10^{-27} \\ &=27\times1,67\times10^{-27} \\ &=4,51\times10^{-26}\ \text{kg} \end{aligned}$$

Nous pouvons maintenant calculer le nombre d’atomes :

$$\begin{aligned} N&=\dfrac{m({\text{bloc}})}{ m({\text{Al}})} \\ &=\dfrac{0,1}{4,51\times10^{-26}} \\ &\approx2,22\times10^{24}\ \text{atomes} \end{aligned}$$

• Dans un bloc de $100\ \text{g}$ d’aluminium pur, il y a donc environ $2,22\times10^{24}$ atomes d’aluminium.

Prenons le cas de la molécule d’eau, de formule brute $\text{H}_2\text{O}$, et calculons la masse $m({\text{H}_2\text{O}})$ d’une molécule, sachant que les masses de l’atome $\text{H}$ et de l’atome $\text{O}$, respectivement $m({\text{H}})$ et $m({\text{O}})$ sont connues :

• $m({\text{H}})\approx1,67\times10^{-27}\ \text{kg}$ ;
• $m({\text{O}})\approx2,66\times10^{-26}\ \text{kg}$.

Ainsi :

$$\begin{aligned} m({\text{H}_2\text{O}})&=2\times m({\text{H})}+m({\text{O})} \\ &\approx2\times1,67\times10^{-27}+2,66\times10^{-26} \\ &\approx2,99\times10^{-26}\ \text{kg} \end{aligned}$$

Reprenons le cas de l’eau, dans des conditions usuelles, et considérons un échantillon de $10\ \text{cL}$ et donc de masse $m({\text{échantillon})}=0,1\ \text{kg}$.

• Nous cherchons à savoir combien de molécules $N({\text{molécules}})$ composent ce volume d’eau.

Nous avons calculé plus haut la masse d’une molécule d’eau : approximativement $2,99\times10^{-26}\ \text{kg}$.

Et donc :

$$\begin{aligned} N({\text{molécules})}&=\dfrac{m({\text{échantillon}})}{ m({\text{H}_2\text{O}})} \\ &\approx\dfrac{0,1}{2,99\times10^{-26}} \\ &\approx3,34\times10^{24}\ \text{molécules} \end{aligned}$$

• Dans un $10\ \text{cL}$ d’eau, il y a donc environ $3,34\times10^{24}$ molécules d’eau.

Nous pouvons aller plus loin et donner le nombre d’atomes total $N({\text{atomes}})$, dont le nombre d’atomes d’hydrogène $N({\text{H}})$ et le nombre d’atomes d’oxygène $N({\text{O}})$ :

• $N({\text{atomes}})\approx3\times3,34\times10^{24}\approx10^{25}\ \text{atomes}$ ;
• $N({\text{H}})\approx2\times3,34\times10^{24}\approx6,68\times10^{24}\ \text{atomes}$ ;
• $N({\text{O}})\approx3,34\times10^{24}\ \text{atomes}$.

• Il y a exactement autant d’atomes d’oxygène dans une mole d’oxygène que de molécules d’eau dans une mole d’eau, soit $N_A$.
• La molécule d’eau étant formée de deux atomes d’hydrogène et d’un atome d’oxygène, une mole d’eau correspond à deux moles d’atomes d’hydrogène et une mole d’atomes d’oxygène.
• Les formes fondamentales naturelles de ces deux espèces sont le dihydrogène $\text{H}_2$ et le dioxygène ${\text{O}_2}$. Ainsi, pour former une mole d’eau ($N_A$ molécules d’eau), il faut une mole de dihydrogène et une demi-mole de dioxygène.
• Ou encore : deux moles d’eau correspondent à deux moles de dihydrogène et une de dioxygène.

Reprenons l’exemple des $10\ \text{cL}$ d’eau, dont, dans des conditions usuelles, nous connaissons la masse $m({\text{échantillon}})$ :

• $m({\text{échantillon}})=0,1\ \text{kg}$

Nous avions calculé, à partir de la masse d’un atome d’hydrogène et de celle d’un atome d’oxygène, la masse d’une molécule d’eau :

• $m({\text{H}_2\text{O}})\approx2,99\times10^{-26}\ \text{kg}$

Nous en avons déduit :

• le nombre de molécules d’eau $N({\text{H}_2\text{O}})\approx3,34\times10^{24}$
• le nombre d’atomes d’hydrogène $N({\text{H}})\approx6,68\times10^{24}$
• le nombre d’atomes d’oxygène $N({\text{O}})\approx3,34\times10^{24}$

Nous pouvons calculer maintenant les quantités de matière correspondantes.

• Pour l’eau :

$$\begin{aligned} n({\text{H}_2\text{O}})&=\dfrac{ N({\text{H}_2\text{O}})}{N_A} \\ &\approx\dfrac{3,34\times10^{24}}{6,022\times10^{23}} \\ &\approx5,55\ \text{mol} \end{aligned}$$

• Pour l’hydrogène :

$$\begin{aligned} n({\text{H}})&=\dfrac{N({\text{H}})}{N_A} \\ &\approx\dfrac{6,68\times10^{24}}{6,022\times10^{23}} \\ &\approx11,09\ \text{mol} \end{aligned}$$

• Pour l’oxygène :

$$\begin{aligned} n({\text{O}})&=\dfrac{N({\text{O}})}{N_A} \\ &\approx\dfrac{3,34\times10^{24}}{6,022\times10^{23}} \\ &\approx5,55\ \text{mol} \end{aligned}$$

Un atome de carbone forme, par combustion avec une molécule de dioxygène, une molécule de gaz carbonique $\text{CO}_2$. Alors une mole de carbone formera avec une mole de dioxygène une mole de gaz carbonique.
Une molécule de méthane $\text{CH}_4$ est constituée d’un atome de carbone et de quatre atomes d’hydrogène. Alors, une mole de méthane correspond à une mole de carbone et quatre moles d’hydrogène, ou à une mole de carbone et deux moles de dihydrogène.