Calculer le volume d'un parallélépipède, d'un cube et d'une pyramide
Introduction :
Dans ce cours, nous verrons ce qu’est le volume d’un solide et comment le calculer. Dans un premier temps nous définirons le volume, puis nous verrons quelles sont les formules pour calculer le volume de chacun des solides.
Définition du volume et unité utilisée
Définition du volume et unité utilisée
Définition
Définition
Définition
Volume :
Le volume représente la quantité de matière se situant à l’intérieur d’un objet.
Unité utilisée
Unité utilisée
Pour calculer le volume d’un solide on multiplie l’aire de ce solide par une longueur. On multiplie donc une unité élevée au carré (l’aire) par une unité (la longueur).
- On obtient ainsi une unité élevée au cube.
Exemple
Par exemple, si la base est exprimée en cm2 et la hauteur en cm on obtient un volume exprimé en cm3.
Attention
Pour calculer un volume, tout comme pour le le calcul des aires, il faut veiller à utiliser les mêmes catégories d’unités.
Nous allons à présent voir les différentes formules permettant de calculer le volume de différentes figures.
Les formules de volume
Les formules de volume
Le parallélépipède rectangle
Le parallélépipède rectangle
Pour calculer le volume de ce parallélépipède rectangle, on peut additionner l’aire de chaque « tranche ». Il y a $5$ tranches, on peut donc multiplier par $5$ l’aire d’une tranche pour obtenir le volume.
À retenir
La formule à connaître est la suivante :
$$V_{pr}=B \times h$$
$V_{pr}$ représente le volume du parallélépipède rectangle, $B$ l’aire du rectangle de base et $h$ sa hauteur correspondante.
Le cube
Le cube
Le cube est un parallélépipède rectangle particulier possédant tous ses côtés égaux.
Pour calculer l’aire d’un parallélépipède rectangle, la formule est la suivante : $$V_c= B \times h$$
À retenir
Mais l’aire de la base d’un cube est égale à son côté au carré, soit $B=c^2$ et la mesure de la hauteur d’un cube est égale à la mesure de son côté, soit $h=c$.
On a donc :
$$\begin{aligned}V_c&=c^2 \times c\\
V_c&=c^3\end{aligned}$$
$V_c$ représente le volume du cube et $c$ la mesure de ses côtés.
Le prisme droit
Le prisme droit
Attention
La figure ci-dessous est un exemple de prisme droit. Le prisme droit peut se présenter sous une autre forme.
À retenir
De manière générale le volume du prisme droit est calculé en multipliant $h$ fois la surface de la base, $h$ représentant la hauteur du prisme.
On a donc :
$$V_{pd}=B \times h$$
$V_{pd}$ représente le volume du prisme droit, $B$ l’aire de sa base et $h$ sa hauteur correspondante.
La pyramide
La pyramide
À retenir
Le volume de la pyramide vaut le tiers de celui du prisme droit possédant une base et une hauteur identique à celles de la pyramide.
On a donc :
$$\begin{aligned}V_{py}&=\dfrac13 \times V_{pd}\\ V_{py}&=\dfrac13 \times B \times h \end{aligned}$$
$V_{py}$ représente le volume de la pyramide, $B$ l’aire de sa base et $h$ sa hauteur correspondante.
Le cylindre de révolution
Le cylindre de révolution
À retenir
Comme pour celui du prisme droit, le volume du cylindre de révolution est obtenu en multipliant l’aire de sa base par sa hauteur.
On obtient donc :
$$V_{cy}=B \times h$$
La base du cylindre est un disque dont l’aire vaut :
$$B=\pi \times r^2$$
$V_{cy}$ représente le volume du cylindre de révolution, $r$ le rayon du disque de base et $h$ sa hauteur.
Le cône de révolution
Le cône de révolution
À retenir
Comme pour celui de la pyramide, le volume du cône de révolution vaut le tiers de celui du cylindre de révolution possédant une base et une hauteur identique à celles du cône de révolution.
On a donc :
$$\begin{aligned}V_{cr}&= \dfrac{1}{3} \times V_{cy}\\ V_{cr}&= \dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h\end{aligned}$$
$V_{cr}$ représente le volume du cône de révolution, $r$ le rayon du disque de base et $h$ sa hauteur.
Conclusion :
Nous avons appris ce qu’étaient le volume d’un solide, l’unité du volume ainsi que les formules nécessaires pour le calculer.
Nous retiendrons principalement que pour calculer le volume d’un solide, on multiplie l’aire de la base de ce solide par la mesure de sa hauteur. Cependant, dans le cas des cônes et des pyramides, on ne prendra qu’un tiers de cette valeur.
Les formules peuvent être simplifiées en utilisant les formules de calcul d’aire propre à chaque type de base.